Geomeetrilist eset, mida hiljem hakati nimetama Kleini pudeliks, kirjeldas esmakordselt 1882. aastal saksa matemaatik Felix Klein. Milline ta on? See objekt (või pigem geomeetriline või topoloogiline pind) lihtsalt ei saa meie kolmemõõtmelises maailmas eksisteerida. Kõigil mudelitel, mida kingipoodides müüakse, on välimus, mis annab kauge pildi vaid sellest, mis on Kleini pudel.
Selguse huvides kirjeldatakse seda järgmiselt: kujutage ette väga pika kaelaga pudelit. Seejärel tehke selles vaimselt kaks auku: üks seina ja teine põhjas. Seejärel painutage kael, sisestage see seina auku ja välja läbi põhja augu. Saadud objektiks on neljamõõtmelise ruumi objekti, mis on tõeline Kleini pudel, projektsioon meie kolmemõõtmelises ruumis.
Kleini pudeli kirjeldus matemaatiliste terminite või valemite keeles ei ütle võhikule midagi. Kui paljud oleksid sellise määratlusega rahul: Kleini pudel on mitmete omadustega mittesuundatav kollektor (või pind). Pärast sõna “omadused” saate luua pika rea, mis koosneb trigonomeetrilistest funktsioonidest, arvudest ning kreeka ja ladina tähtedest. Kuid see võib segadusse ajada ainult ettevalmistamata inimese, kes on juba saanud ettekujutuse pudeli projektsioonist kolmemõõtmelises ruumis.
Huvitav fakt: nimi "Kleini pudel", mille see objekt sai, tõenäoliselt tõlkija vea või kirjavigu tõttu. Fakt on see, et Klein kasutas oma määratluses sõna Fläche, see tähendab saksa keeles „pind”. Saksamaalt teistesse riikidesse reisides muudeti see sõna sarnaseks kirjapildiks Flasche (pudel). Siis naasis termin päritoluriiki tagasi uues, muutunud vormis ja see püsis igavesti.
Paljude kultuuritegelaste (peamiselt ulmekirjanike) jaoks osutus termin “Kleini pudel” iseenesest atraktiivseks. Selle kasutamine atribuudina ja mõnikord ka peategelasena on muutunud "intellektuaalse" väljamõeldise märgiks. Selline on näiteks Bruce Elioti kirjutatud lugu "Viimane illusionist". Loos tegeleb abistav mustkunstnik oma padruniga, mis tegi trikke neljamõõtmelise Kleini pudeliga. Pudelisse sattunud illusionist jääb pooleldi selle sisse vajuma. Autori sõnul ei saa seda pudelit sisu kahjustamata puruneda. Kas see on tõesti nii - keegi ei oska öelda. Vähemalt polnud matemaatikud, kes sellele küsimusele võiksid vastata, neid hämmingus, teaduse jaoks pole see oluline.
Vahel valatakse reklaami eesmärgil veini spetsiaalselt valmistatud Kleini pudelitesse. Tõsi, sellist klaasipudelit on tehniliselt keeruline valmistada, selleks on vaja ekstra klassi klaasipuhurit. Seetõttu on see üsna kõrge hind ja seda kasutatakse harva. Kuid tehnoloogia testimist ja selliste pudelite tootmise seadistamist voos pole mõtet, sest selleks on vaja välja töötada pudeli vedelikuga täitmise metoodika (on ka raskusi). Ja ebaharilikkuse ja uudsuse tunne asendatakse kiiresti ebamugavustega, kui sellisest pudelist veini veiniklaasidesse valatakse.
