Vana-Kreeka filosoof Zeno esitatud Achilleuse ja kilpkonna paradoks seab välja mõistuse. Selles öeldakse, et sportlik tüüp Achilleus ei jõua kunagi floppy-kilpkonnani, kui ta alustab oma liikumist enne teda. Mis see siis on: sofism (teadlik viga tõendis) või paradoks (väide, millel on loogiline seletus)? Proovime sellest artiklist aru saada.
Kes on Zeno?
Zeno sündis umbes 488. aastal eKr Itaalias Eleas (tänapäeva Velia). Ta elas mitu aastat Ateenas, kus ta pühendas kogu oma energia Parmenidese filosoofilise süsteemi selgitamisele ja arendamisele. Platoni kirjutistest on teada, et Zenon oli Parmenidesest 25 aastat noorem, kirjutas juba varakult oma filosoofilise süsteemi kaitse. Ehkki tema kirjutistest on päästetud vähe. Enamik meist teab temast ainult Aristotelese loomingust ja ka asjaolu, et see filosoof, Elea Zeno, on kuulus oma filosoofiliste kaalutluste poolest.
Paradokside raamat
Viiendal sajandil eKr käsitles kreeka filosoof Zeno liikumise, ruumi ja aja nähtusi. Inimeste, loomade ja esemete liikumine on Achilleuse paradoksi ja kilpkonna alus. Matemaatik ja filosoof kirjutas neli paradoksi ehk liikumisparadoksi, mis sisaldusid Zeno 2500 aastat tagasi kirjutatud raamatus. Nad toetasid Parmenidese seisukohta, et liikumine on võimatu. Vaatleme kõige kuulsamat paradoksi - Achilleuse ja kilpkonna kohta.
Lugu on järgmine: Achilleus ja kilpkonn otsustasid võistlustules võistelda. Võistluse huvitavamaks muutmiseks edestas kilpkonn Achilleust kindla vahemaa tagant, kuna viimane on kilpkonnast palju kiirem. Paradoks oli, et seni kuni teooria jätkub, ei saa Achilleus kilpkonnast kunagi üle.
Paradoksi ühes versioonis väidab Zenon, et liikumist pole olemas. Variatsioone on palju, Aristoteles loetleb neist neli, kuigi sisuliselt võite neid nimetada liikumise kahe paradoksi variatsioonideks. Üks on seotud ajaga, teine aga ruumiga.
Aristotelese füüsikast
Aristotelese füüsika VI.9 raamatust leiate selle
Võistlusel ei jõua kiireim jooksja kunagi kõige aeglasemat, sest jälitaja peab kõigepealt jõudma jälitamise alguse punkti.
Nii jõuab ta pärast seda, kui Achilleus on tähtajatult jooksnud, punkti, kust kilpkonn liikuma hakkas. Kuid täpselt samal ajal liigub kilpkonn edasi, jõudes oma teekonna järgmisse punkti, nii et Achilleus peab ikkagi kilpkonnale järele jõudma. Jälle liigub ta edasi, lähenedes üsna kiiresti sellele, mida kilpkonn enne okupeeris, „avastas” taas, et kilpkonn roomas pisut edasi.
See protsess kordub seni, kuni soovite seda korrata. Kuna mõõtmised on inimese ehitusega ja seetõttu lõputud, ei jõua me kunagi punktini, kus Achilleus kilpkonna lüüa saab. See on täpselt Achilleuse ja kilpkonna Zeno paradoks. Loogiliste mõttekäikude järel ei suuda Achilleus kunagi kilpkonnale järele jõuda. Praktikas jookseb sprinter Achilleus muidugi aeglasest kilpkonnast mööda.
Paradoksi tähendus
Kirjeldus on keerulisem kui paradoks. Seetõttu ütlevad paljud: "Ma ei mõista Achilleuse ja kilpkonna paradoksi." Mõttega on keeruline tajuda seda, mis tegelikult pole ilmne, vaid ilmne on just vastupidine. See kõik seisneb probleemi enda selgitamises. Zeno tõestab, et ruum on jagatav ja kuna see on jagatav, on võimatu ruumi teatud punkti jõuda, kui teine on sellest punktist kaugemale liikunud.
Zeno tõestab neid tingimusi arvestades, et Achilleus ei jõua kilpkonnaga järele, sest ruumi saab lõpmatult jagada väiksemateks osadeks, kus kilpkonn on alati osa ees olevast ruumist. Samuti tuleb märkida, et kuigi aeg on liikumine, nagu tegi Aristoteles, liiguvad kaks jooksjat lõputult, olles seega liikumatud. Selgub, et Zenonil on õigus!
Achilleuse paradoks ja kilpkonnalahus
Paradoks näitab lahknevust mõttemaailma ja selle vahel, mis maailm tegelikult on. Matemaatika emeriitprofessor ja valgustatud sümbolite autor Joseph Mazur kirjeldab paradoksi kui “trikki”, pannes teid mõtlema ruumist, ajast ja liikumisest valel viisil.
Siis kerkib ülesanne välja selgitada, mis meie mõtlemises täpselt viga on. Liikumine on võimalik, muidugi võib kiire inimjooksja võistlusel kilpkonnast ette pääseda.
Achilleuse ja kilpkonna paradoks matemaatika seisukohast on järgmine:
- Eeldusel, et kilpkonn on 100 meetrit ees, kui Achilleus kõndis 100 meetrit, on kilpkonn temast 10 meetrit eespool.
- Kui ta jõuab nende 10 meetrini, on kilpkonn 1 meeter eespool.
- Kui ta jõuab 1 meetrini, on kilpkonn ees 0, 1 meetrit.
- Kui ta jõuab 0, 1 meetrini, on kilpkonn ees 0, 01 meetrit.
Seetõttu kannatavad Achilleus samas protsessis lugematuid kaotusi. Muidugi, täna me teame, et summa 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + … = 111.111 … on täpne arv ja see määrab, millal Achilleus on kilpkonnast ees.
Lõpmatuseni, mitte kaugemale
Zeno näite tekitatud segadus tulenes peamiselt lõpmatust arvust vaatluspunktidest ja positsioonidest, kuhu Achilleus pidi kõigepealt jõudma, kui kilpkonn pidevalt liikus. Seega oleks Achilleusel peaaegu võimatu kilpkonnale järele jõuda, rääkimata selle ületamisega.
Esiteks jääb Achilleuse ja kilpkonna vaheline ruumiline kaugus järjest väiksemaks. Kuid vahemaa läbimiseks kuluvat aega vähendatakse proportsionaalselt. Loodud Zeno probleem viib liikumispunktide laienemiseni lõpmatuseni. Kuid matemaatilist kontseptsiooni veel polnud.
Nagu teate, sai sellele probleemile matemaatiliselt mõistliku lahenduse leida alles XVII sajandi lõpul. Newton ja Leibniz lähenesid lõpmatule formaalsete matemaatiliste lähenemisviisidega.
Inglise matemaatik, loogik ja filosoof Bertrand Russell ütles, et "… Zeno argumendid on ühel või teisel kujul andnud aluse peaaegu kõigile ruumi ja lõpmatuse teooriatele, mis meie aja jooksul on välja pakutud tänapäevani …"
